線形代数(マセマ) P.202 標準形の操作の意味

P.202に以下の文言がある。

この操作(引用者注:二次形式を標準形にすること)は、対称行列を直交行列によって対角化することと同じである。

これはどういう意味だろうか。また、なぜ(二次形式から変形した)対称行列を直交行列によって対角化すると、二次形式を標準形に変形できるのであろうか。 Continue reading “線形代数(マセマ) P.202 標準形の操作の意味”

線形代数(マセマ) P.203 より分かりやすい形にした、とは?

P.203の最後に、以下のような文言がある。

$$
これは、\begin{bmatrix} {x_{1}}^{‘} \\ {x_{2}}^{‘} \end{bmatrix} = \mathbf{U}^{-1} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} により、\\
\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} を直交変換して、\\
座標系を\begin{bmatrix} {x_{1}}^{‘} \\ {x_{2}}^{‘} \end{bmatrix}に変えて、\\
よりわかりやすい形にしたんだね。
$$

これはどういう意味だろうか。 Continue reading “線形代数(マセマ) P.203 より分かりやすい形にした、とは?”

線形代数(マセマ) P.188 2つの元のなす角の定義

 P.1882つの元のなす角の定義は、以下のようになっている。

$$
計量線形空間\mathbf{V}の\mathbf{0}でない2つの元\mathbf{a},\mathbf{b}に対して、\\
\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{a} \Vert \ \Vert \mathbf{b} \Vert} \\
とおくと、-1 \leq \cos\theta \leq 1 より、 \\
[ 0, \pi ]の範囲に、一意的に\thetaの値が定まる。\\
この\thetaを\mathbf{a}と\mathbf{b}の”なす角”と定義する。
$$

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線形代数(マセマ) P.175 固有値の計算における背理法の補足

 P.175(I)固有値の計算において、|AE | = 0 となる理由を吹き出しの補足(背理法)で説明している。その冒頭に以下のような文言がある。

|AE | ≠ 0 と仮定すると、( AE )-1が存在するので、

何故、|AE | ≠ 0 と仮定すると、( AE )-1が存在すると言えるのだろうか。 Continue reading “線形代数(マセマ) P.175 固有値の計算における背理法の補足”

線形代数(マセマ) P.164 同型写像とならない線形変換の例は、同型写像の基本定理に矛盾しないか?

 P.164には、写像fが線形変換 f : V = R2V = R2であっても、同型写像にはならない例を示している。しかし、これは以下のP.163同型写像の基本定理に矛盾しないのだろうか。
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線形代数(マセマ) P.156 表現行列の一意性

P.156 線形写像と表現行列で以下の記述がある。

$$
線形写像 \mathbf{f} : \mathbf{R^{n}} \rightarrow \mathbf{R^{m}} に対して、\\
(m,n)型の行列\mathbf{A}がただ1つ定まり、\\
\mathbf{x^{‘}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}) =\mathbf{Ax} と表せる。( \mathbf{x} \in \mathbf{R^{n}}, \ \mathbf{x^{‘}} \in \mathbf{R^{m}} ) \\
この行列\mathbf{A}を、線形写像\mathbf{f}の”表現行列”という。\tag{#}
$$

表現行列Aはただ1つに定まる(=一意性がある)と記されているが、その根拠は何であろうか。それは、(i)任意の元xの表現の一意性 と、(ii)f(e)の一意性 である。
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