線形代数(マセマ) P.226 P-1が存在することの証明の流れ

P.226で、P-1が存在することの証明の流れとして、以下の定理を羅列している。

$$
\mathbf{x_{1}} と \mathbf{x^{‘}_{1}}が線形独立 \Longleftrightarrow 行列 \mathbf{P} = \begin{bmatrix} \mathbf{x_{1}} & \mathbf{x^{‘}_{1}} \end{bmatrix}のランクは2 \\
\Longleftrightarrow \begin{eqnarray} | \mathbf{P} | \neq \mathbf{0} \end{eqnarray} \\
\Longleftrightarrow \mathbf{P^{-1}} は存在する。
$$


この証明の流れは、どこから来たのだろうか。これは、線形独立と線形従属の定義の例題であるP.129-130から来ている。