線形代数(マセマ) P.226 P-1が存在することの証明の流れ

P.226で、P-1が存在することの証明の流れとして、以下の定理を羅列している。

$$
\mathbf{x_{1}} と \mathbf{x^{‘}_{1}}が線形独立 \Longleftrightarrow 行列 \mathbf{P} = \begin{bmatrix} \mathbf{x_{1}} & \mathbf{x^{‘}_{1}} \end{bmatrix}のランクは2 \\
\Longleftrightarrow \begin{eqnarray} | \mathbf{P} | \neq \mathbf{0} \end{eqnarray} \\
\Longleftrightarrow \mathbf{P^{-1}} は存在する。
$$

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線形代数(マセマ) P.202 標準形の操作の意味

P.202に以下の文言がある。

この操作(引用者注:二次形式を標準形にすること)は、対称行列を直交行列によって対角化することと同じである。

これはどういう意味だろうか。また、なぜ(二次形式から変形した)対称行列を直交行列によって対角化すると、二次形式を標準形に変形できるのであろうか。 Continue reading “線形代数(マセマ) P.202 標準形の操作の意味”

線形代数(マセマ) P.203 より分かりやすい形にした、とは?

P.203の最後に、以下のような文言がある。

$$
これは、\begin{bmatrix} {x_{1}}^{‘} \\ {x_{2}}^{‘} \end{bmatrix} = \mathbf{U}^{-1} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} により、\\
\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} を直交変換して、\\
座標系を\begin{bmatrix} {x_{1}}^{‘} \\ {x_{2}}^{‘} \end{bmatrix}に変えて、\\
よりわかりやすい形にしたんだね。
$$

これはどういう意味だろうか。 Continue reading “線形代数(マセマ) P.203 より分かりやすい形にした、とは?”

線形代数(マセマ) P.188 2つの元のなす角の定義

 P.1882つの元のなす角の定義は、以下のようになっている。

$$
計量線形空間\mathbf{V}の\mathbf{0}でない2つの元\mathbf{a},\mathbf{b}に対して、\\
\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{a} \Vert \ \Vert \mathbf{b} \Vert} \\
とおくと、-1 \leq \cos\theta \leq 1 より、 \\
[ 0, \pi ]の範囲に、一意的に\thetaの値が定まる。\\
この\thetaを\mathbf{a}と\mathbf{b}の”なす角”と定義する。
$$

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